1.8 附录：利用蒙特卡罗方法进行积分
　　很难相信可用蒙特卡罗方法求出积分，毕竟我们不想靠打赌的方式猜出积分值。虽然常常愿意用其他方法求单重和双重积分，[7]但当积分重数很大时，蒙特卡罗方法将是最好的。
　　例如我们想计算一个含有12个电子的原子的磁性。为了计算这个性质，对每个电子在3个坐标上需要积分某函数，这将导致3×12=36维的积分。如果对每个积分采用64个点，这大约需要对6436≈1065个被积函数进行运算。就算计算机快到每秒可完成被积函数的1百万次运算，这也需要1059秒才能完成积分，而这个时间远大于宇宙的年龄（~1017秒）。这时我们就要用蒙特卡罗法进行积分，以使我们能在活着的时候看到积分的答案。[4]
　　
　　 1)基本原理
　　 用蒙特卡罗方法进行积分的原理很简单，我们可以通过以下一个有趣的问题来了解。设想一个农夫发现自己的一个池塘长满了藻类，于是打算撒农药来清除藻类。但当读完药物使用说明书后，发现需要知道池塘的面积才能确定撒多少药以使药的浓度正好。聪明的农夫看着自己那个不规则形状的池塘突然想到了这样的办法：
　　 ① 如图11所示，在池塘周围画一个规则的矩形框，将矩形内地面上的小石块收集起来作上标记。
　　 ② 量出矩形框的长和宽，如果家里没有那么长的尺子，可以用跨出的步长这类自然长度来测量，于是就得到了矩形区域的面积Sbox。
　　 ③ 沿着矩形框走上几圈，每走一步向框内均匀随意的投出一些石块。
　　 ④ 记录下听到石块落入水中时溅起水花的声音次数Npond，并数出落在区域内地面上的石块数Nbox。
　　 ⑤ 如果确实是均匀随机的扔出石块，那么池塘的面积就可以按下面的比例关系确定： 　　 　　 　　 　　 　　
　　 以上农夫的投石测量也许是一个假想的故事，因为人们无法真正随机的扔出石块，但是，这种方法正是蒙特卡罗积分的核心思想，因为在前面已经看到我们的计算机是能过随机的“投掷”出石块的。

　　 2)一个简单的例子
　　 下面我们通过Matlab编写一个“投石测量”的具体程序，计算二维积分并据此决定π值。
　　 ① 假设以坐标原点为中心有一圆形池塘，且正好被一长度为2的正方形所包围。
　　 ② 在[-1，1]内产生随机数序列{ri}，让(xi,yi)=( ri, ri+1)。
　　 ③ 如果xi2+ yi2<1，使Npond=Npond+1，否则使Nbox=Nbox+1。
　　 ④ 利用（7）式计算圆面积并据此求出π值。